Решить неравенство: x² ≤ 81

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x^2 \le 81 \), перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^2 - 81 \le 0 \]

Разложим левую часть как разность квадратов:

\[ (x - 9)(x + 9) \le 0 \]

Найдем корни уравнения \( (x - 9)(x + 9) = 0 \). Корни: \( x = 9 \) и \( x = -9 \).

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -9] \), \( [-9; 9] \), \( [9; +\infty) \).

Проверим знак выражения \( (x - 9)(x + 9) \) в каждом интервале:

• При \( x < -9 \) (например, \( x = -10 \)): \( (-10 - 9)(-10 + 9) = (-19)(-1) = 19 > 0 \).
• При \( -9 < x < 9 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 9)(0 + 9) = (-9)(9) = -81 \le 0 \).
• При \( x > 9 \) (например, \( x = 10 \)): \( (10 - 9)(10 + 9) = (1)(19) = 19 > 0 \).

Неравенство \( (x - 9)(x + 9) \le 0 \) выполняется при \( x \) из интервала \( [-9; 9] \).

Ответ: \( x \in [-9; 9] \).