Моторная лодка в 11:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 21:00. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

1. Время в пути:
   • Время отправления из А: 11:00
   • Время прибытия в А: 21:00
   • Общее время в пути (туда и обратно) = 21:00 - 11:00 = 10 часов.
   • Время пребывания в пункте В = 2 часа 30 минут = 2.5 часа.
   • Время движения лодки = 10 часов - 2.5 часа = 7.5 часа.
2. Расстояние:
   • Расстояние между А и В = 30 км.
3. Скорость течения:
   • \[ v_{течения} = 3 \text{ км/ч} \]
4. Скорость лодки по течению (из А в В):
   • \[ v_{по \ течению} = v_{собственная} + v_{течения} \]
   • \[ v_{по \ течению} = v_{собственная} + 3 \]
5. Скорость лодки против течения (из В в А):
   • \[ v_{против \ течения} = v_{собственная} - v_{течения} \]
   • \[ v_{против \ течения} = v_{собственная} - 3 \]
6. Время в пути туда и обратно:
   • Время в пути = Расстояние / Скорость
   • \[ 7.5 = \frac{30}{v_{собственная} + 3} + \frac{30}{v_{собственная} - 3} \]
7. Решаем уравнение:
   • Приведем к общему знаменателю:
   • \[ 7.5 = \frac{30(v_{собственная} - 3) + 30(v_{собственная} + 3)}{(v_{собственная} + 3)(v_{собственная} - 3)} \]
   • \[ 7.5 = \frac{30v_{собственная} - 90 + 30v_{собственная} + 90}{v_{собственная}^2 - 9} \]
   • \[ 7.5 = \frac{60v_{собственная}}{v_{собственная}^2 - 9} \]
   • \[ 7.5 (v_{собственная}^2 - 9) = 60v_{собственная} \]
   • \[ 7.5 v_{собственная}^2 - 67.5 = 60v_{собственная} \]
   • \[ 7.5 v_{собственная}^2 - 60v_{собственная} - 67.5 = 0 \]
   • Умножим на 2 для удобства:
   • \[ 15 v_{собственная}^2 - 120v_{собственная} - 135 = 0 \]
   • Разделим на 15:
   • \[ v_{собственная}^2 - 8v_{собственная} - 9 = 0 \]
8. Решаем квадратное уравнение:
   • Используем теорему Виета или дискриминант.
   • \[ (v_{собственная} - 9)(v_{собственная} + 1) = 0 \]
   • Возможные корни: \[ v_{собственная} = 9 \] или \[ v_{собственная} = -1 \]
   • Поскольку скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 9