Мотоциклист проехал 40 км от дома до реки. Возвращаясь обратно со скоростью, на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на этот путь на 20 мин больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

Решение:

Пусть \( v \) — первоначальная скорость мотоциклиста (км/ч).

Время в пути от дома до реки: \( t_1 = \frac{40}{v} \) (ч).

Скорость на обратном пути: \( v - 10 \) (км/ч).

Время на обратном пути: \( t_2 = \frac{40}{v-10} \) (ч).

20 минут = \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа.

По условию, \( t_2 = t_1 + \frac{1}{3} \).

Составим уравнение:

\( \frac{40}{v-10} = \frac{40}{v} + \frac{1}{3} \)

Умножим обе части уравнения на \( 3v(v-10) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\( 40 \cdot 3v = 40 \cdot 3(v-10) + v(v-10) \)

\( 120v = 120(v-10) + v^2 - 10v \)

\( 120v = 120v - 1200 + v^2 - 10v \)

\( 0 = v^2 - 10v - 1200 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1200) = 100 + 4800 = 4900 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70 \)

Найдем корни:

\( v_1 = \frac{-(-10) + 70}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 70}{2} = \frac{80}{2} = 40 \)

\( v_2 = \frac{-(-10) - 70}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 70}{2} = \frac{-60}{2} = -30 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 40 \) км/ч.

Ответ: 40 км/ч.