На расстоянии 80 км до станции прибытия поезд был задержан на 16 мин. Чтобы ликвидировать опоздание, поезд пошел после остановки со скоростью на 10 км/ч больше, чем до остановки. Какова скорость поезда по расписанию?

Решение:

Пусть \( v \) — скорость поезда по расписанию (км/ч).

Расстояние до остановки: \( 80 \) км.

Время в пути до остановки по расписанию: \( t_1 = \frac{80}{v} \) (ч).

16 минут = \( \frac{16}{60} = \frac{4}{15} \) часа.

После остановки поезд пошел со скоростью \( v + 10 \) (км/ч).

Время в пути после остановки: \( t_2 = \frac{80}{v+10} \) (ч).

Общее время в пути с учетом задержки: \( t_{real} = t_1 + \frac{4}{15} + t_2 \).

По условию, чтобы ликвидировать опоздание, время движения после остановки должно быть таким, чтобы поезд прибыл вовремя. Это означает, что фактическое время в пути равно времени по расписанию:

\( t_{real} = \frac{80}{v} \)

Значит, \( \frac{80}{v} = \frac{80}{v} + \frac{4}{15} + \frac{80}{v+10} \)

\( 0 = \frac{4}{15} + \frac{80}{v+10} \)

Это уравнение не имеет смысла, так как \( \frac{4}{15} \) и \( \frac{80}{v+10} \) положительны.

Переформулируем условие: поезд должен прибыть вовремя, несмотря на 16-минутную задержку. Это значит, что время, которое поезд потратил на движение после остановки, должно быть меньше, чем если бы он двигался с расписанной скоростью, ровно на 16 минут.

Время движения по расписанию на участке 80 км: \( t_{raspisanie} = \frac{80}{v} \).

Время движения после остановки: \( t_{real_part2} = \frac{80}{v+10} \).

Условие, что поезд прибыл вовремя, означает, что время движения после остановки было меньше времени, которое потребовалось бы по расписанию, на время задержки:

\( t_{real_part2} = t_{raspisanie} - \frac{4}{15} \)

\( \frac{80}{v+10} = \frac{80}{v} - \frac{4}{15} \)

Разделим все члены на 4:

\( \frac{20}{v+10} = \frac{20}{v} - \frac{1}{15} \)

Умножим обе части уравнения на \( 15v(v+10) \):

\( 20 \cdot 15v = 20 \cdot 15(v+10) - v(v+10) \)

\( 300v = 300(v+10) - (v^2 + 10v) \)

\( 300v = 300v + 3000 - v^2 - 10v \)

\( 0 = 3000 - v^2 - 10v \)

\( v^2 + 10v - 3000 = 0 \)

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110 \)

Найдем корни:

\( v_1 = \frac{-10 + 110}{2 \cdot 1} = \frac{100}{2} = 50 \)

\( v_2 = \frac{-10 - 110}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60 \)

Так как скорость не может быть отрицательной, \( v = 50 \) км/ч.

Ответ: 50 км/ч.