№1 Можно ли описать окружность около четырёхугольника $ABCD$, если его углы $A$, $B$, $C$ и $D$ соответственно пропорциональны числам: 1) 3, 8, 11, 6; 2) 4, 5, 4, 2?

Для того чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов равнялась $180^{\circ}$. Это означает, что углы должны быть вписанными в окружность. 1) Пусть углы $A, B, C, D$ пропорциональны числам 3, 8, 11, 6. Тогда сумма углов четырёхугольника равна $3x + 8x + 11x + 6x = 28x$. Так как сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ}$, то $28x = 360^{\circ}$, откуда $x = \frac{360}{28} = \frac{90}{7}$. Тогда углы равны: $A = 3x = 3 \cdot \frac{90}{7} = \frac{270}{7}$ $B = 8x = 8 \cdot \frac{90}{7} = \frac{720}{7}$ $C = 11x = 11 \cdot \frac{90}{7} = \frac{990}{7}$ $D = 6x = 6 \cdot \frac{90}{7} = \frac{540}{7}$ Проверим условие описанной окружности: $A + C = \frac{270}{7} + \frac{990}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$ и $B + D = \frac{720}{7} + \frac{540}{7} = \frac{1260}{7} = 180^{\circ}$. Следовательно, вокруг четырёхугольника можно описать окружность. 2) Пусть углы $A, B, C, D$ пропорциональны числам 4, 5, 4, 2. Тогда сумма углов четырёхугольника равна $4x + 5x + 4x + 2x = 15x$. Так как сумма углов четырёхугольника равна $360^{\circ}$, то $15x = 360^{\circ}$, откуда $x = \frac{360}{15} = 24^{\circ}$. Тогда углы равны: $A = 4x = 4 \cdot 24 = 96^{\circ}$ $B = 5x = 5 \cdot 24 = 120^{\circ}$ $C = 4x = 4 \cdot 24 = 96^{\circ}$ $D = 2x = 2 \cdot 24 = 48^{\circ}$ Проверим условие описанной окружности: $A + C = 96 + 96 = 192^{\circ}
e 180^{\circ}$ и $B + D = 120 + 48 = 168^{\circ}
e 180^{\circ}$. Следовательно, вокруг четырёхугольника нельзя описать окружность. Ответ: 1) Можно, 2) Нельзя.