331. Можно ли описать окружность около четырёхугольника ABCD, если его углы А, В, С и Д соответственно пропорциональны числам: 1) 3, 8, 11, 6; 2) 4, 5, 4, 2?

Для того чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна 180°.

Пусть x – коэффициент пропорциональности.

1. Сумма всех углов четырехугольника равна 360°.

   $$3x + 8x + 11x + 6x = 360$$

   $$28x = 360$$

   $$x = \frac{360}{28} = \frac{90}{7}$$

   Тогда углы равны:

   $$A = 3 \cdot \frac{90}{7} = \frac{270}{7}$$, $$C = 11 \cdot \frac{90}{7} = \frac{990}{7}$$

   $$B = 8 \cdot \frac{90}{7} = \frac{720}{7}$$, $$D = 6 \cdot \frac{90}{7} = \frac{540}{7}$$

   Проверим условие описанной окружности:

   $$A + C = \frac{270}{7} + \frac{990}{7} = \frac{1260}{7} = 180$$

   $$B + D = \frac{720}{7} + \frac{540}{7} = \frac{1260}{7} = 180$$

   Можно описать окружность.

2. Сумма всех углов четырехугольника равна 360°.

   $$4x + 5x + 4x + 2x = 360$$

   $$15x = 360$$

   $$x = \frac{360}{15} = 24$$

   Тогда углы равны:

   $$A = 4 \cdot 24 = 96$$, $$C = 4 \cdot 24 = 96$$

   $$B = 5 \cdot 24 = 120$$, $$D = 2 \cdot 24 = 48$$

   Проверим условие описанной окружности:

   $$A + C = 96 + 96 = 192
   e 180$$

   $$B + D = 120 + 48 = 168
   e 180$$

   Нельзя описать окружность.

Ответ: Окружность можно описать только в первом случае.