Можно ли раскрасить рёбра куба в красный и зелёный цвета так, чтобы муравей мог пройти из любой вершину в любую только по красным рёбрам, а жук – только по зелёным?

Да, можно. Раскрасим 6 ребер куба в красный цвет и 6 ребер в зеленый цвет. Нужно раскрасить ребра так, чтобы красные ребра образовали связный граф, охватывающий все вершины куба, и чтобы зеленые ребра также образовали связный граф, охватывающий все вершины куба. Можно раскрасить три ребра, выходящие из одной вершины, в красный цвет, а три ребра, выходящие из противоположной вершины, в зеленый цвет. Остальные ребра можно раскрасить произвольным образом, чтобы выполнялись условия связности.