4) My cousin __________ go to this camp this summer, his parents want to travel with him around Russia.

1. Определим, что требуется выбрать. В данном предложении необходимо выбрать подходящий модальный глагол или его эквивалент для выражения необходимости или отсутствия необходимости совершения действия.

2. Определим часть речи. В данном случае, нужно выбрать подходящий модальный глагол или его эквивалент.

3. Подставим каждый вариант в предложение.

4. Сравним смысл и логику.

5. Применим правило (have to / has to / don't have to / doesn't have to / needn't).

6. Запишем корректный вариант:

В данном контексте, когда говорится, что родители хотят путешествовать с кузеном, нет необходимости идти в лагерь. Подходит модальный глагол 'doesn't have to', указывающий на отсутствие необходимости совершения действия.

Правильный вариант: doesn't have to.

My cousin doesn't have to go to this camp this summer, his parents want to travel with him around Russia.

Ответ: My cousin doesn't have to go to this camp this summer, his parents want to travel with him around Russia.