N3 a) log2(x² - 3x) < 2; 6) logo.3(2x²-9x+4) ≥ ≥ 2logo.3(x + 2); B) log: x-log x -2>0.

Решение:

a) \( \log_2(x^2 - 3x) < 2 \)

• ОДЗ: \( x^2 - 3x > 0 \Rightarrow x(x-3) > 0 \Rightarrow x < 0 \) или \( x > 3 \).
• Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), знак неравенства сохраняется:
• \( x^2 - 3x < 2^2 \)
• \( x^2 - 3x < 4 \)
• \( x^2 - 3x - 4 < 0 \)
• Найдём корни \( x^2 - 3x - 4 = 0 \): \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \). \( x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \). \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -1 \).
• \( x^2 - 3x - 4 < 0 \) при \( -1 < x < 4 \).
• Пересекаем \( -1 < x < 4 \) с ОДЗ \( (x < 0) \cup (x > 3) \). Получаем \( -1 < x < 0 \) или \( 3 < x < 4 \).

6) \( \log_{0.3}(2x^2-9x+4) \ge 2\log_{0.3}(x + 2) \)

• Преобразуем правую часть: \( 2\log_{0.3}(x + 2) = \log_{0.3}((x+2)^2) \).
• ОДЗ:
• \( 2x^2-9x+4 > 0 \). Корни \( 2x^2-9x+4=0 \): \( D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 \). \( x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{9 \pm 7}{4} \). \( x_1 = \frac{16}{4} = 4 \), \( x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). \( 2x^2-9x+4 > 0 \) при \( x < \frac{1}{2} \) или \( x > 4 \).
• \( x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 \).
• Объединяем условия: \( -2 < x < \frac{1}{2} \) или \( x > 4 \).
• Так как основание логарифма \( 0.3 < 1 \), знак неравенства меняется на противоположный:
• \( 2x^2-9x+4 \le (x+2)^2 \)
• \( 2x^2-9x+4 \le x^2+4x+4 \)
• \( x^2-13x \le 0 \)
• \( x(x-13) \le 0 \)
• \( 0 \le x \le 13 \).
• Пересекаем \( 0 \le x \le 13 \) с ОДЗ \( (-2 < x < \frac{1}{2}) \cup (x > 4) \). Получаем \( 0 \le x < \frac{1}{2} \) или \( 4 < x \le 13 \).

B) \( \log_2 x - \log_2 x - 2 > 0 \)

• Данное условие содержит ошибку: \( \log_2 x - \log_2 x \) равно 0. Условие преобразуется в \( -2 > 0 \), что является ложным утверждением.
• Предположим, что имелось в виду: \( \log_2 x^2 - \log_2 x - 2 > 0 \) или \( \log_2 x - \log_4 x - 2 > 0 \).
• Если предположить, что это \( \log_2 x - \log_4 x - 2 > 0 \):
• ОДЗ: \( x > 0 \).
• Приведём логарифмы к одному основанию (например, 2): \( \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} \).
• \( \log_2 x - \frac{\log_2 x}{2} - 2 > 0 \)
• \( \frac{1}{2} \log_2 x > 2 \)
• \( \log_2 x > 4 \)
• \( x > 2^4 \)
• \( x > 16 \).
• Пересекаем \( x > 16 \) с ОДЗ \( x > 0 \). Получаем \( x > 16 \).

Ответ: a) \( -1 < x < 0 \) или \( 3 < x < 4 \); 6) \( 0 \le x < \frac{1}{2} \) или \( 4 < x \le 13 \); B) \( x > 16 \) (при условии, что имелось в виду \( \log_2 x - \log_4 x - 2 > 0 \)).