Вариант 1 1) log5(2x+3) > log5(x - 1) 2) log(2x - 5) < -2 3) log(2x – 3) > log(x² – 6)

Решение:

1) \( \log_5(2x+3) > \log_5(x - 1) \)

• По определению логарифма, аргументы должны быть положительны:
• \( 2x+3 > 0 \Rightarrow x > -\frac{3}{2} \)
• \( x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
• Область допустимых значений (ОДЗ): \( x > 1 \).
• Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), неравенство сохраняет знак:
• \( 2x+3 > x-1 \)
• \( x > -4 \)
• Пересекаем \( x > -4 \) с ОДЗ \( x > 1 \). Получаем \( x > 1 \).

2) \( \log_{\frac{1}{2}}(2x - 5) < -2 \)

• ОДЗ: \( 2x-5 > 0 \Rightarrow x > \frac{5}{2} \).
• Так как основание логарифма \( \frac{1}{2} < 1 \), знак неравенства меняется на противоположный:
• \( 2x - 5 > (\frac{1}{2})^{-2} \)
• \( 2x - 5 > 2^2 \)
• \( 2x - 5 > 4 \)
• \( 2x > 9 \)
• \( x > \frac{9}{2} \)
• Пересекаем \( x > \frac{9}{2} \) с ОДЗ \( x > \frac{5}{2} \). Получаем \( x > \frac{9}{2} \).

3) \( \log_2(2x – 3) > \log_2(x^2 – 6) \)

• ОДЗ:
• \( 2x-3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2} \)
• \( x^2-6 > 0 \Rightarrow x^2 > 6 \Rightarrow x < -\sqrt{6} \) или \( x > \sqrt{6} \)
• Объединяя условия: \( x > \frac{3}{2} \) и \( (x < -\sqrt{6}) \cup (x > \sqrt{6}) \). Так как \( \sqrt{6} \approx 2.45 \) и \( \frac{3}{2} = 1.5 \), то \( x > \sqrt{6} \).
• Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), знак неравенства сохраняется:
• \( 2x - 3 > x^2 - 6 \)
• \( 0 > x^2 - 2x - 3 \)
• \( x^2 - 2x - 3 < 0 \)
• Найдём корни квадратного трёхчлена \( x^2 - 2x - 3 = 0 \): \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \). \( x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \). \( x_1 = 3 \), \( x_2 = -1 \).
• Парабола \( y = x^2 - 2x - 3 \) направлена ветвями вверх, значит, \( x^2 - 2x - 3 < 0 \) при \( -1 < x < 3 \).
• Пересекаем \( -1 < x < 3 \) с ОДЗ \( x > \sqrt{6} \). Получаем \( \sqrt{6} < x < 3 \).

Ответ: 1) \( x > 1 \); 2) \( x > \frac{9}{2} \); 3) \( \sqrt{6} < x < 3 \).