Вариант 2 1) log3(1 - x) < log3(3 - 2x) 3) log3(x² + 5) > log3(x + 7) 2) log(2x + 5) < -3

Решение:

1) \( \log_3(1 - x) < \log_3(3 - 2x) \)

• ОДЗ:
• \( 1-x > 0 \Rightarrow x < 1 \)
• \( 3-2x > 0 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{2} \)
• Объединяем условия: \( x < 1 \).
• Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется:
• \( 1 - x < 3 - 2x \)
• \( 2x - x < 3 - 1 \)
• \( x < 2 \)
• Пересекаем \( x < 2 \) с ОДЗ \( x < 1 \). Получаем \( x < 1 \).

2) \( \log_{\frac{1}{2}}(2x + 5) < -3 \)

• ОДЗ: \( 2x+5 > 0 \Rightarrow x > -\frac{5}{2} \).
• Так как основание логарифма \( \frac{1}{2} < 1 \), знак неравенства меняется на противоположный:
• \( 2x + 5 > (\frac{1}{2})^{-3} \)
• \( 2x + 5 > 2^3 \)
• \( 2x + 5 > 8 \)
• \( 2x > 3 \)
• \( x > \frac{3}{2} \)
• Пересекаем \( x > \frac{3}{2} \) с ОДЗ \( x > -\frac{5}{2} \). Получаем \( x > \frac{3}{2} \).

3) \( \log_3(x^2 + 5) > \log_3(x + 7) \)

• ОДЗ:
• \( x^2+5 > 0 \) — выполняется для любого \( x \), так как \( x^2 \ge 0 \).
• \( x+7 > 0 \Rightarrow x > -7 \)
• Объединяем условия: \( x > -7 \).
• Так как основание логарифма \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется:
• \( x^2 + 5 > x + 7 \)
• \( x^2 - x - 2 > 0 \)
• Найдём корни квадратного трёхчлена \( x^2 - x - 2 = 0 \): \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \). \( x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \). \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -1 \).
• Парабола \( y = x^2 - x - 2 \) направлена ветвями вверх, значит, \( x^2 - x - 2 > 0 \) при \( x < -1 \) или \( x > 2 \).
• Пересекаем \( (x < -1) \cup (x > 2) \) с ОДЗ \( x > -7 \). Получаем \( -7 < x < -1 \) или \( x > 2 \).

Ответ: 1) \( x < 1 \); 2) \( x > \frac{3}{2} \); 3) \( -7 < x < -1 \) или \( x > 2 \).