На ABCD — прямоугольник, BK ⟂ AC, ∠ACD = 60°. 1) OK = a. Найдите DB и AB. 2) AC = m. Найдите AK и CD.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Так как \(\angle ACD=60^\circ\), то диагональ \(AC\) образует с основанием угол \(30^\circ\).

Расстояние от точки \(B\) до диагонали \(AC\):

\[BK=\frac{AB\cdot AD}{AC}.\]

При \(AC=m\):

\[AB=m\sin30^\circ=\frac m2,\qquad AD=m\cos30^\circ=\frac{\sqrt3m}{2}.\]

Следовательно,

\[BK=\frac{m}{2}\cdot\frac{\sqrt3m}{2}\cdot\frac1m=\frac{\sqrt3m}{4}.\]

1) По условию \(OK=a\), а из симметрии относительно точки \(O\) получаем \(BK=2a\). Поэтому

\[2a=\frac{\sqrt3m}{4},\qquad m=\frac{8a}{\sqrt3}.\]

Тогда

\[DB=AC=\frac{8a}{\sqrt3},\qquad AB=\frac{AC}{2}=\frac{4a}{\sqrt3}.\]

2) Проекция \(AB\) на диагональ \(AC\) равна

\[AK=AB\cos60^\circ=\frac m2\cdot\frac12=\frac m4.\]

Кроме того, \(CD=AB=\frac m2\).

Ответ: 1) \(DB=\frac{8a}{\sqrt3}\), \(AB=\frac{4a}{\sqrt3}\); 2) \(AK=\frac m4\), \(CD=\frac m2\).