6*. На биссектрисе BD равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка O, на отрезке AD – точка M и на отрезке CD – точка K, причем DM = DK. Найдите ∠MOD, если ∠CKO = 110°.

Дано: ΔABC – равнобедренный, AB = BC, BD – биссектриса, O ∈ BD, M ∈ AD, K ∈ CD, DM = DK, ∠CKO = 110°. Найти: ∠MOD Решение: 1. Рассмотрим ΔDМK. Так как DM = DK, то ΔDМK – равнобедренный, и ∠DMK = ∠DKM. 2. ∠DKM и ∠CKO – смежные углы, значит, ∠DKM = 180° - ∠CKO = 180° - 110° = 70°. 3. В ΔDМK ∠MDK = 180° - (∠DMK + ∠DKM) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°. 4. Так как ΔABC равнобедренный и BD – биссектриса, то BD является и высотой, и медианой. Следовательно, BD ⊥ AC и AD = DC. 5. ∠ADB = 90°. 6. Рассмотрим ΔADO. ∠DAO = 90° - ∠ADO = 90° - 40° = 50°. 7. Так как BD – биссектриса, то ∠ABD = ∠CBD. Пусть ∠ABD = x, тогда ∠ABC = 2x. 8. В ΔABC ∠BAC = ∠BCA = (180° - 2x)/2 = 90° - x. 9. В ΔABD: ∠BAD = 90° - x, ∠ABD = x, ∠ADB = 40°. 10. Значит, 90° - x + x + 40° = 180°, что невозможно. Ошибка в условии или в чертеже. Поскольку треугольник ABC равнобедренный с основанием AC и BD - биссектриса, то BD является также высотой и медианой. Следовательно, \( \angle ADB = 90^{\circ} \). Так как DM = DK, то треугольник DMK - равнобедренный, и углы при основании равны. \( \angle DKM = 180^{\circ} - \angle CKO = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ} \). Значит, \( \angle DMK = \angle DKM = 70^{\circ} \). \( \angle MDK = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 70^{\circ} = 40^{\circ} \). Т.к. BD - биссектриса, то \( \angle ABD = \angle DBC \). Обозначим \( \angle DBC = x \). Тогда \( \angle ABC = 2x \). \( \angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 2x)/2 = 90^{\circ} - x \). Из треугольника ABD: \( \angle BAD = 90^{\circ} - x \), \( \angle ABD = x \), \( \angle ADB = 90^{\circ} \). Получаем \( \angle MDO = \angle ADB - \angle MDK = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \). В треугольнике MOD: \( \angle MOD = 180^{\circ} - \angle DMO - \angle MDO \). Но мы не знаем \( \angle DMO \). Допустим, что точка M лежит на AC, тогда \( \angle DMO = 90^{\circ} \). \( \angle MOD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \). Ответ: 40°