6*. На биссектрисе BM равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отмечена точка D, на отрезке AM — точка E и на отрезке CM — точка F, причем EM = FM. Найдите ∠CFD, если ∠FDE = 80°.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. BM - биссектриса, следовательно, BM - также высота и медиана. Точка D лежит на BM. EM = FM. Так как треугольник ABC равнобедренный, то AM = MC. AM = AE + EM, MC = MF + FC. AE + EM = MF + FC, EM = FM. => AE = FC. Рассмотрим треугольники AED и CFD. AE = FC, ∠EAD = ∠FCD (так как треугольник ABC равнобедренный), AD = DC (так как BM медиана и высота, следовательно треугольник ADC равнобедренный, и DM является высотой и медианой). => Треугольники AED и CFD равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). => ∠ADE = ∠CDF. ∠ADE + ∠FDE + ∠CDF = 180°. ∠FDE = 80°. 2∠ADE = 180° - 80° = 100°. ∠ADE = 50°. ∠CFD = ∠AED. ∠AED + ∠ADE + ∠EAD = 180°. ∠AED = 180° - ∠ADE - ∠EAD = 180° - 50° - ∠BAC/2. ∠ABC + ∠BAC + ∠BCA = 180°. ∠ABC = ∠BCA. ∠BAC + 2∠BCA = 180°. ∠BCA = (180° - ∠BAC)/2 = 90° - ∠BAC/2. Так как BM высота, то ∠AMB = 90°. => ∠MBA = 90° - ∠BAC/2. ∠ABM = ∠CBM = ∠ABC/2. => ∠BAC/2 = (180° - ∠BAC) /4 = 45° - ∠BAC/4. Тогда ∠CFD = ∠AED = 180° - 50° - ∠BAC/2 = 130° - ∠BAC/2. Треугольник FDE - не равнобедренный. Найдем ∠CFD. Так как ∠FDE = 80°, и точки E и F лежат на сторонах AM и CM соответственно. Следовательно, угол ∠CFD будет больше 90 градусов. **Ответ: 130°**