3. На биссектрисе CD равнобедренного треугольника ABC взята точка M. Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам AC и BC и пересекающие основание AB в точках H и K. Докажите, что AH=KB.

Дано: ΔABC - равнобедренный (AC = BC), CD - биссектриса, M ∈ CD, MH || AC, MK || BC, H ∈ AB, K ∈ AB. Доказать: AH = KB. Доказательство: Т.к. MH || AC, то ∠MHA = ∠CAB (соответственные углы при параллельных прямых MH и AC и секущей AB). Т.к. MK || BC, то ∠MKA = ∠CBA (соответственные углы при параллельных прямых MK и BC и секущей AB). Т.к. ΔABC - равнобедренный и CD - биссектриса, то ∠CAB = ∠CBA. Следовательно, ∠MHA = ∠MKA. Т.к. MH || AC, то ∠HMC = ∠ACD (накрест лежащие углы при параллельных прямых MH и AC и секущей CD). Т.к. MK || BC, то ∠KMC = ∠BCD (накрест лежащие углы при параллельных прямых MK и BC и секущей CD). Т.к. CD - биссектриса, то ∠ACD = ∠BCD. Следовательно, ∠HMC = ∠KMC. Рассмотрим ΔMHC и ΔMKC: ∠MHC = ∠MKC (т.к. MH || AC и MK || BC, а AC и BC пересекаются под углом, равным углу C в ΔABC, то MH и MK тоже пересекаются под таким же углом, т.е. ∠HMK = ∠C), MC - общая сторона, ∠HMC = ∠KMC. Следовательно, ΔMHC = ΔMKC (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует, что HC = KC и MH = MK. Рассмотрим ΔAHM и ΔBKM: ∠MHA = ∠MKA (доказано ранее), ∠MAH = ∠MBK (т.к. ∠CAB = ∠CBA), MH = MK (доказано ранее). Следовательно, ΔAHM = ΔBKM (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует, что AH = KB. Что и требовалось доказать.