4.На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Е и F такие, что АЕ = CF. Докажите, что <АСЕ = <CAF.

Рассмотрим треугольники ACE и CAF.

1. AE = CF (по условию).
2. AC - общая сторона.
3. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит, ∠BAC = ∠BCA. Так как AE = CF, то BE = BF. Тогда треугольник BEF - равнобедренный, углы при основании равны: ∠BEF = ∠BFE. Значит, ∠AEF = ∠CFE как смежные углы к равным углам.

Из равенства сторон АВ и ВС следует, что AB - AE = BC - CF, значит, BE = BF.

Рассмотрим треугольники ACE и CAF:

1. AE = CF (по условию).
2. AC - общая сторона.
3. ∠CAE = ∠ACF (так как углы при основании равнобедренного треугольника ABC равны).

Следовательно, треугольники ACE и CAF равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), значит, ∠ACE = ∠CAF как соответственные углы в равных треугольниках.

Ответ: Углы ACE и CAF равны.