4. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки М и К так, что ∠BAK = = ∠ВСМ. Докажите, что ВМ = = BK.

Дано:

• ΔABC – равнобедренный (AB = BC)
• ∠BAK = ∠BCM

Доказать: BM = BK

Доказательство:

1. Так как ΔABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
2. ∠BAK = ∠BCM (по условию).
3. Выразим углы ∠MAK и ∠MCA:
4. ∠MAK = ∠BAC - ∠BAK
5. ∠MCA = ∠BCA - ∠BCM
6. Так как ∠BAC = ∠BCA и ∠BAK = ∠BCM, то ∠MAK = ∠MCA.
7. Рассмотрим треугольники ΔABK и ΔCBM:
8. AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника)
9. ∠BAK = ∠BCM (по условию)
10. ∠ABK = ∠CBM (так как это один и тот же угол ∠B)
11. Следовательно, ΔABK = ΔCBM по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).
12. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BK = BM.

Ответ: BM = BK (что и требовалось доказать).