7.4. На числовой прямой отметили 127 различных натуральных чисел п₁,..., П127, меньших 2025 (где n₁ < 2 < ... < N127), и рассмотрели 126 отрезков между соседними точками [П1, П2], [N2, N3], [П126, П127]. Докажите, что среди этих отрезков найдутся пять одинаковой длины.

Обозначим длины отрезков через $$l_1, l_2, ..., l_{126}$$. Тогда сумма длин всех отрезков равна $$n_{127} - n_1 < 2025$$. Предположим, что нет пяти отрезков одинаковой длины. Тогда каждая длина встречается не более 4 раз. Пусть $$m$$ - количество различных длин. Тогда $$4(l_1 + l_2 + ... + l_m) > 2025$$. Расположим длины отрезков в порядке возрастания: $$l_1 < l_2 < ... < l_m$$. Тогда $$l_1 \geq 1, l_2 \geq 2, l_3 \geq 3, ..., l_m \geq m$$. Тогда $$4(1 + 2 + 3 + ... + m) > 2025$$. Сумма первых m натуральных чисел равна $$\frac{m(m+1)}{2}$$, поэтому $$4\frac{m(m+1)}{2} > 2025$$. $$2m(m+1) > 2025$$. $$m(m+1) > 1012.5$$. Если $$m = 31$$, то $$m(m+1) = 31(32) = 992$$, что меньше 1012.5. Если $$m = 32$$, то $$m(m+1) = 32(33) = 1056$$, что больше 1012.5. Таким образом, должно быть как минимум 32 различных длины. Тогда сумма длин была бы не менее $$4(1 + 2 + ... + 32) = 4(\frac{32 \cdot 33}{2}) = 4(16 \cdot 33) = 4 \cdot 528 = 2112$$, что больше 2025. Противоречие. Следовательно, должно быть 5 отрезков одинаковой длины. <p><strong>Доказательство:</strong> Предположим обратное: среди отрезков нет пяти одинаковой длины. Тогда отрезков каждой длины не более четырёх, а, значит, общая длина всех отрезков не меньше $$4 \cdot (1+2+3+...+m)$$, где $$m$$ — количество различных длин. Значит, сумма всех длин отрезков больше 2025. Следовательно, есть пять одинаковых длин.</p>