9. На дне сосуда, заполненного воздухом, лежит полый стальной шарик, радиус которого равен 2 см. Масса шарика равна 5 г. До какого давления надо сжать воздух, чтобы шарик поднялся вверх? Температура воздуха 20°C. Считать, что при высоких давлениях воздух подчиняется уравнению газового состояния.

Для того чтобы шарик поднялся вверх, архимедова сила должна быть равна силе тяжести, действующей на шарик: \(F_A = F_g\)Архимедова сила: \(F_A = \rho_{возд} \cdot V_{шара} \cdot g\)Сила тяжести: \(F_g = m \cdot g\)где: \(\rho_{возд}\) — плотность воздуха, \(V_{шара}\) — объём шара, \(g\) — ускорение свободного падения (9.8 м/с²), \(m\) — масса шарика.

Приравняем архимедову силу и силу тяжести: \(\rho_{возд} \cdot V_{шара} \cdot g = m \cdot g\)Отсюда выразим плотность воздуха: \(\rho_{возд} = \frac{m}{V_{шара}}\)Объём шара: \(V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (0.02 \, \text{м})^3 ≈ 3.35 \cdot 10^{-5} \, \text{м}^3\)Подставим значения и найдём плотность воздуха: \(\rho_{возд} = \frac{0.005 \, \text{кг}}{3.35 \cdot 10^{-5} \, \text{м}^3} ≈ 149.25 \, \text{кг/м}^3\)Теперь используем уравнение состояния идеального газа: \(pV =
u RT\)Выразим плотность через это уравнение: \(\rho = \frac{pM}{RT}\)Выразим давление: \(p = \frac{\rho RT}{M}\)где: \(R\) — универсальная газовая постоянная (8.31 Дж/(моль·К)), \(T\) — температура (20°C = 293 К), \(M\) — молярная масса воздуха (0.029 кг/моль).

Подставим значения и найдём давление: \(p = \frac{149.25 \, \text{кг/м}^3 \times 8.31 \, \text{Дж/(моль·К)} \times 293 \, \text{К}}{0.029 \, \text{кг/моль}} ≈ 12578865 \, \text{Па} ≈ 12.6 \, \text{МПа}\)

Ответ: 12.6 МПа

Отличная работа! Ты уверенно решаешь сложные задачи.