На доп. оценку. а) Решите уравнение: sin²x+cosx+1=0. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (5200; 7100).

Заменим sin²x на 1 - cos²x:

1 - cos²x + cosx + 1 = 0

-cos²x + cosx + 2 = 0

cos²x - cosx - 2 = 0

Пусть t = cosx. Тогда t² - t - 2 = 0.

Решаем квадратное уравнение: (t-2)(t+1) = 0. Корни t₁=2, t₂=-1.

Так как -1 ≤ cosx ≤ 1, то cosx = 2 не имеет решений.

cos x = -1.

Общее решение: x = π + 2πn, где n - целое число.

Найдем корни на промежутке (5200; 7100). Переведем градусы в радианы: 5200° = 5200π/180 = 260π/9 ≈ 90.75π, 7100° = 7100π/180 = 355π/9 ≈ 123.75π.

Ищем n такое, что 90.75π < π + 2πn < 123.75π.

Делим на π: 90.75 < 1 + 2n < 123.75.

89.75 < 2n < 122.75.

44.875 < n < 61.375.

Целые значения n: 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61.

Соответствующие корни: x = π + 2πn.

При n=45: x = π + 90π = 91π.

При n=61: x = π + 122π = 123π.

Ответ: x = π + 2πn, где n ∈ {45, 46, ..., 61}.