На доске было написано двузначное число. Саша переставил цифры, и полученное число увеличилось в 4,5 раза. Какое двузначное число было записано первоначально?

Пусть двузначное число будет представлено как 10a + b, где 'a' - цифра десятков, а 'b' - цифра единиц.

Число, полученное перестановкой цифр, будет 10b + a.

По условию, новое число в 4,5 раза больше первоначального:

\[ 10b + a = 4.5 * (10a + b) \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

\[ 2 * (10b + a) = 9 * (10a + b) \]

\[ 20b + 2a = 90a + 9b \]

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\[ 90a - 2a + 9b - 20b = 0 \]

\[ 88a - 11b = 0 \]

Вынесем общий множитель 11:

\[ 11 * (8a - b) = 0 \]

Из этого следует, что:

\[ 8a - b = 0 \]

\[ b = 8a \]

Так как 'a' и 'b' - это цифры от 0 до 9, и 'a' не может быть 0 (иначе число было бы однозначным), единственная пара, удовлетворяющая условию:

• Если a = 1, то b = 8 * 1 = 8.
• Если a = 2, то b = 8 * 2 = 16 (что больше 9, поэтому не подходит).

Следовательно, первоначальное число было 18.

Проверим:

Переставленные цифры дают число 81.

81 / 18 = 4.5 (верно).

Ответ: 18