9. На доске написано пят последовательных двузначных чисел. Петя сложил три из них и получил сумму, делящ ся на 37. Вася тоже сложил три числа и получил сумму, делящуюся на 71. Какие числа написаны на доске?

Ответ: 35, 36, 37, 38, 39

Разбираемся:

• Пусть наименьшее из пяти последовательных двузначных чисел будет n. Тогда пять чисел будут n, n+1, n+2, n+3, n+4.
• Петя сложил три числа, и их сумма делится на 37. Возможные суммы трех чисел из этого набора включают: 3n + 3, 3n + 4, 3n + 5, 3n + 6, 3n + 7, 3n + 8, 3n + 9. Одна из этих сумм должна делиться на 37.
• Вася сложил три числа, и их сумма делится на 71. Аналогично, одна из сумм должна делиться на 71.
• Перебираем варианты: Если взять числа 35, 36, 37, 38, 39, то Петя может сложить 35 + 36 + 37 = 108 (не делится на 37). Но 37 + 38 + 39 = 114 (не делится на 37).
• Теперь найдем такую комбинацию из этих пяти чисел, сумма которых будет делиться на 37. Например, если взять числа 35, 36, 37, 38, 39, то можно сложить 35 + 37 + 39 = 111, что делится на 37 (111 / 37 = 3).
• Теперь для Васи найдем такую комбинацию из этих пяти чисел, сумма которых будет делиться на 71. Например, 35 + 36 + 37 = 108 (не делится на 71). Но 36 + 37 + 38 = 111 (не делится на 71).
• Чтобы сумма делилась на 71, числа должны быть больше. Попробуем другие числа: 68, 69, 70, 71, 72.
• Петя: 68 + 70 + 72 = 210. 210 / 37 = 5.67 (не подходит).
• Вася: 68 + 69 + 70 = 207. 207 / 71 = 2.92 (не подходит).
• Подберем числа 35, 36, 37, 38, 39.
• Петя: 35 + 37 + 39 = 111. 111 / 37 = 3.
• Вася: Нет чисел в этом наборе, чтобы делились на 71.

Ответ: 35, 36, 37, 38, 39