7. На доске написаны десять чисел. Оказалось, что сумма любых четырёх из них чётная. Докажите, что сумма всех десяти чётная.

Пусть на доске записаны числа a1, a2, a3, ..., a10. Из условия задачи известно, что сумма любых четырёх из них чётная. Рассмотрим два возможных случая:

1. Все числа чётные. Если все числа чётные, то их сумма, конечно, чётная.
2. Среди чисел есть нечётные. Пусть среди этих чисел есть хотя бы одно нечётное. Раз сумма любых четырёх чисел чётная, значит, среди этих чисел может быть либо 0, либо 2, либо 4 нечётных числа.

Рассмотрим два набора по 4 числа, в которых есть нечётные. Например, a1 + a2 + a3 + a4 = чётное число, и a1 + a2 + a3 + a5 = чётное число. Вычитая из второго равенства первое, получаем a5 - a4 = 0, то есть a5 = a4. Таким образом, все числа на доске равны между собой.

Если все числа чётные, то и сумма десяти чётных чисел чётная. Если все числа нечётные, то сумма десяти нечётных чисел чётная (так как 10 – чётное число). Докажем, что сумма всех десяти чисел чётная. Рассмотрим сумму всех десяти чисел S = a1 + a2 + a3 + ... + a10.

Разобьём эту сумму на две группы по пять чисел: S = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5) + (a6 + a7 + a8 + a9 + a10).

Заменим каждую группу на сумму четырёх чисел и ещё одно число: S = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5) + (a6 + a7 + a8 + a9 + a10) = (чётное + a5) + (чётное + a10).

Если a5 и a10 чётные, то вся сумма S чётная. Если a5 и a10 нечётные, то их сумма чётная, и вся сумма S снова чётная.

Ответ: Сумма всех десяти чисел чётная.