14. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 170.

Заметим, что каждый виток «змейки» добавляет к ее длине длину двух последовательных звеньев. Пусть длина первого звена равна 10. Тогда длина каждого следующего звена будет на 10 больше предыдущего. Таким образом, длины звеньев образуют арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1 = 10\) и разностью \(d = 10\). Пусть последнее звено имеет длину \(a_n = 170\). Тогда \(n\)-й член арифметической прогрессии равен: \(a_n = a_1 + (n-1)d\) \(170 = 10 + (n-1)10\) \(160 = (n-1)10\) \(16 = n - 1\) \(n = 17\) Значит, всего звеньев 17. Так как количество звеньев четное, добавим ещё одно звено (18), и рассмотрим 18 звеньев. Общая длина змейки с 18 звеньями - это сумма арифметической прогрессии \(S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}\). Нужно найти сумму 17 звеньев: \(S_{17} = \frac{(10 + 170)17}{2} = \frac{180 \cdot 17}{2} = 90 \cdot 17 = 1530\). Ответ: 1530