1. На клетчатой бумаге с размером клетки 11 нарисован треугольник АВС. Найдите длину биссектрисы треугольника, выходящей из вершины А.

Рассмотрим треугольник ABC на клетчатой бумаге. Биссектриса угла A делит угол A пополам.

Из рисунка видно, что биссектриса выходит из вершины A и проходит через точку на стороне BC, которая находится на расстоянии 2 клеток по горизонтали и 2 клеток по вертикали от точки A.

Длина биссектрисы равна расстоянию от вершины A до точки пересечения биссектрисы со стороной BC.

Координаты вершины A можно принять за (0, 0). Тогда координаты точки пересечения биссектрисы со стороной BC будут (2, 2).

Длина отрезка вычисляется по формуле:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) — координаты двух точек.

Подставляем координаты:

$$d = \sqrt{(2 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

Таким образом, длина биссектрисы равна $$2\sqrt{2}$$.

Ответ: $$2\sqrt{2}$$