На клетчатой бумаге с размером клетки 1 x 1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины В.

По рисунку определим координаты вершин треугольника ABC:

• A(1; 2)
• B(7; 4)
• C(1; 7)

Найдем длины сторон AB и BC:

$$AB = \sqrt{(7-1)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$ $$BC = \sqrt{(7-1)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

По теореме о биссектрисе треугольника, биссектриса делит сторону AC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{2\sqrt{10}}{3\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Пусть AD = 2\sqrt{2}x, тогда DC = 3x.

Длина AC = 7 - 2 = 5. Тогда AD + DC = 5, следовательно, 2\sqrt{2}x+3x=5

$$x = \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}$$

Тогда AD = $$ \frac{10\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}}$$.

Координаты точки D можно найти по формуле деления отрезка в данном отношении:

$$x_D = \frac{x_A + kx_C}{1 + k} = \frac{1 + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 1}{1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}} = 1$$ $$y_D = \frac{y_A + ky_C}{1 + k} = \frac{2 + \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot 7}{1 + \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{6 + 14 \frac{2\sqrt{2}}{3}}{3 + 2 \frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{18 + 28\sqrt{2}}{9 + 6 \sqrt{2}} = \frac{2}{3}(7)\approx 4,0$$

Найдем длину биссектрисы BD:

$$BD = \sqrt{(7 - 1)^2 + (4 - \frac{28 \sqrt{2} + 18}{6 + 4 \sqrt{2}})^2} $$

Используем другую формулу для нахождения биссектрисы:

$$l_b = \frac{2ac \cdot cos(\frac{B}{2})}{a+c}$$

По теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(B)$$ $$25 = 40 + 45 - 2 \cdot \sqrt{40} \cdot \sqrt{45} \cdot cos(B)$$ $$25 = 85 - 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot 3 \sqrt{5} \cdot cos(B)$$ $$cos(B) = \frac{60}{12 \sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Значит угол B = 45 градусов.

Тогда $$cos(\frac{B}{2}) = cos(22.5)$$.

Получаем:

$$l_b = \frac{2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{5} \cdot cos(22.5)}{2\sqrt{10}+3\sqrt{5}}$$

$$l_b \approx 5.12$$

По клеточкам, если аккуратно начертить, получается примерно 5.

Ответ: 5