На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 190.

Решение:

Каждое звено ломаной «змейка» является квадратом. Длина звена соответствует стороне квадрата. Ломаная состоит из пар звеньев, где каждое следующее звено на 2 клетки больше предыдущего.

Длина звеньев образуют арифметическую прогрессию:

2, 4, 6, 8, 10, ...

Последнее звено имеет длину 10. Это 5-е звено в прогрессии (10 = 2 * 5).

Если последнее звено имеет длину 190, то оно соответствует n-му члену прогрессии:

\( 2n = 190 \)

\( n = \frac{190}{2} = 95 \)

Сумма арифметической прогрессии находится по формуле:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Где \( a_1 \) — первый член прогрессии (2), \( a_n \) — последний член прогрессии (190), \( n \) — количество членов прогрессии (95).

\[ S_{95} = \frac{2 + 190}{2} \cdot 95 = \frac{192}{2} \cdot 95 = 96 \cdot 95 = 9120 \]

Ответ: 9120.