На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его биссектрисы, проведённой из вершины В.

Пусть дан треугольник $$ABC$$ с вершинами $$A(1;1)$$, $$B(5;4)$$, $$C(1;7)$$. Нужно найти длину биссектрисы, проведенной из вершины $$B$$.

Найдем длины сторон треугольника: $$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (4-1)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ $$BC = \sqrt{(5-1)^2 + (4-7)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ $$AC = \sqrt{(1-1)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{0 + 36} = \sqrt{36} = 6$$ Т.к. $$AB = BC = 5$$, то треугольник $$ABC$$ - равнобедренный.

Биссектриса, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, также является медианой и высотой. Найдем координаты точки $$D$$ - середины стороны $$AC$$: $$D = (\frac{1+1}{2}; \frac{1+7}{2}) = (1; 4)$$.

Найдем длину биссектрисы $$BD$$: $$BD = \sqrt{(5-1)^2 + (4-4)^2} = \sqrt{16 + 0} = \sqrt{16} = 4$$.

Ответ: 4