На математическом турнире за каждую верно решенную задачу команде начисляют 6 баллов, а за каждую неверную — снимают 4 балла. За нерешенную задачу дают 0 баллов. Всего в туре 20 задач. Команда набрала ровно 44 балла. Сколько задач они решили верно?

Решение:

Пусть \( v \) — количество верно решенных задач, \( n \) — количество неверно решенных задач, и \( u \) — количество нерешенных задач.

Из условия задачи известно:

• Общее количество задач: \( v + n + u = 20 \)
• Общий балл команды: \( 6v - 4n + 0u = 44 \), что упрощается до \( 6v - 4n = 44 \)

Из второго уравнения выразим \( 4n \):

\( 4n = 6v - 44 \)

Разделим обе части на 2:

\( 2n = 3v - 22 \)

Из этого уравнения видно, что \( 3v - 22 \) должно быть четным числом. Это возможно, если \( 3v \) — четное число, что означает, что \( v \) должно быть четным.

Также, \( 2n \) должно быть положительным, значит \( 3v > 22 \), следовательно, \( v > \frac{22}{3} \), то есть \( v \geq 8 \).

Также \( n \) не может быть больше оставшихся задач, то есть \( n \leq 20 - v \).

Подставим \( n = \frac{3v - 22}{2} \) в первое уравнение:

\( v + \frac{3v - 22}{2} + u = 20 \)

Умножим все на 2:

\( 2v + 3v - 22 + 2u = 40 \)

\( 5v + 2u = 62 \)

Теперь подберем четное значение \( v \) (где \( v \geq 8 \)), при котором \( 5v \leq 62 \) и \( 62 - 5v \) будет четным и неотрицательным (так как \( 2u \) должно быть таким).

Если \( v = 8 \): \( 5 \times 8 = 40 \). \( 62 - 40 = 22 \). \( 2u = 22 \) \( \rightarrow \) \( u = 11 \). \( n = \frac{3 \times 8 - 22}{2} = \frac{24 - 22}{2} = 1 \). Проверим: \( v+n+u = 8+1+11 = 20 \). Баллы: \( 6 \times 8 - 4 \times 1 = 48 - 4 = 44 \). Этот вариант подходит.

Если \( v = 10 \): \( 5 \times 10 = 50 \). \( 62 - 50 = 12 \). \( 2u = 12 \) \( \rightarrow \) \( u = 6 \). \( n = \frac{3 \times 10 - 22}{2} = \frac{30 - 22}{2} = 4 \). Проверим: \( v+n+u = 10+4+6 = 20 \). Баллы: \( 6 \times 10 - 4 \times 4 = 60 - 16 = 44 \). Этот вариант также подходит.

Если \( v = 12 \): \( 5 \times 12 = 60 \). \( 62 - 60 = 2 \). \( 2u = 2 \) \( \rightarrow \) \( u = 1 \). \( n = \frac{3 \times 12 - 22}{2} = \frac{36 - 22}{2} = 7 \). Проверим: \( v+n+u = 12+7+1 = 20 \). Баллы: \( 6 \times 12 - 4 \times 7 = 72 - 28 = 44 \). Этот вариант также подходит.

Если \( v = 14 \): \( 5 \times 14 = 70 \). \( 62 - 70 < 0 \), значит \( u \) будет отрицательным, что невозможно.

Нам нужно найти наименьшее число верно решенных задач. Из найденных вариантов (8, 10, 12), наименьшее — 8.

Ответ: 8