152. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что угол AOB – прямой. Отрезок BC – диаметр окружности. Докажите, что хорды AB и AC равны.

Рассмотрим окружность с центром в точке O. Угол \(\angle AOB\) – прямой, значит, \(\angle AOB = 90^{\circ}\). Отрезок \(BC\) – диаметр окружности. Угол \(\angle BAC\) опирается на диаметр, следовательно, \(\angle BAC = 90^{\circ}\). Рассмотрим треугольник \(\triangle ABC\). Так как \(\angle BAC = 90^{\circ}\), то треугольник прямоугольный. Так как \(BC\) – диаметр, то \(\triangle ABC\) – прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, гипотенуза которого является диаметром окружности. \(\angle AOB = 90^{\circ}\), следовательно, дуга \(AB\) равна \(90^{\circ}\). \(\angle AOC = 180^{\circ} - \angle AOB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\), следовательно, дуга \(AC\) равна \(90^{\circ}\). Так как дуги \(AB\) и \(AC\) равны, то и хорды, стягивающие эти дуги, также равны: \(AB = AC\). Что и требовалось доказать.