149. Отрезки AB и CD – диаметры окружности. Докажите свойства хорд: a) хорды BD и AC равны; б) хорды AD и BC равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

a) Рассмотрим треугольники \(AOC\) и \(BOD\). В этих треугольниках \(AO = OB\) и \(CO = OD\) как радиусы окружности. \(\angle AOC = \angle BOD\) как вертикальные углы. Следовательно, \(\triangle AOC = \triangle BOD\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что \(AC = BD\). b) Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(BOC\). В этих треугольниках \(AO = OB\) и \(DO = OC\) как радиусы окружности. \(\angle AOD = \angle BOC\) как вертикальные углы. Следовательно, \(\triangle AOD = \triangle BOC\) по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что \(AD = BC\). c) Так как \(AD = BC\) (доказано в пункте б), то дуги, на которые опираются эти хорды, также равны: \(\stackrel{\smile}{AD} = \stackrel{\smile}{BC}\). Тогда равны и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги: \(\angle BAD = \angle BCD\).