152 На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ прямой. Отрезок ВС Докажите, что хорды АВ И АС равны. диаметр окружности,

Дано: Окружность с центром O, точки A и B на окружности, ∠AOB = 90°, BC - диаметр.

Доказать: AB = AC.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA = OB (радиусы окружности) и ∠AOB = 90°, то треугольник AOB - равнобедренный и прямоугольный. Тогда ∠OAB = ∠OBA = (180° - 90°) / 2 = 45°.

2) Так как BC - диаметр, то ∠BAC - вписанный угол, опирающийся на диаметр, следовательно, ∠BAC = 90°.

3) Рассмотрим треугольник ABC. В нем ∠BAC = 90°, ∠ABC = ∠OBA = 45°. Тогда ∠ACB = 180° - 90° - 45° = 45°.

4) Так как в треугольнике ABC углы ∠ABC и ∠ACB равны, то треугольник ABC - равнобедренный, следовательно, AB = AC.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что хорды AB и AC равны.