52 На окружности с центром О отмечены точки А и В угол АОВ — прямой. Отрезок ВС — диаметр ок Докажите, что хорды АВ и АС равны.

Дано: Окружность с центром в точке О, А и В - точки на окружности, ∠АОВ = 90°, ВС - диаметр.

Доказать: АВ = АС.

Доказательство:

1) ∠АОВ - центральный, ∠АСВ - вписанный и опираются на одну и ту же дугу АВ. ∠АСВ = ∠АОВ/2 = 90°/2 = 45°.

2) Т.к. ВС - диаметр, то ∠ВАС = 90° (вписанный угол, опирающийся на диаметр).

3) Рассмотрим ΔАВС. ∠ВАС = 90°, ∠АСВ = 45°. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠АВС = 180° - ∠ВАС - ∠АСВ = 180° - 90° - 45° = 45°.

4) Т.к. ∠АСВ = ∠АВС, то ΔАВС - равнобедренный, значит, АВ = АС.

Ответ: доказано.