149 Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите свойства хорд: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС равны; в) ∠BAD = ∠BCD.

а) Рассмотрим треугольники ΔBOD и ΔAOC. BO = AO и DO = CO как радиусы окружности. ∠BOD = ∠AOC как вертикальные. Следовательно, ΔBOD = ΔAOC по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что BD = AC.

б) Рассмотрим треугольники ΔAOD и ΔBOC. AO = BO и DO = CO как радиусы окружности. ∠AOD = ∠BOC как вертикальные. Следовательно, ΔAOD = ΔBOC по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что AD = BC.

в) ∠BAD и ∠BCD — вписанные углы, опирающиеся на равные хорды BD и AD соответственно. Вписанные углы, опирающиеся на равные хорды, равны, следовательно, ∠BAD = ∠BCD.

Ответ: Доказано.