3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки Ми К так, что ∠ABM =∠СВК, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СК.

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. На основании AC отметили точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK. Нужно доказать, что AM = CK.

Поскольку треугольник ABC равнобедренный, углы при основании AC равны, т.е. ∠BAC = ∠BCA.

Рассмотрим треугольники ABM и CBK:

1. AB = BC (как стороны равнобедренного треугольника ABC).
2. ∠ABM = ∠CBK (по условию).

Чтобы доказать равенство AM = CK, нужно сначала доказать равенство треугольников ABM и CBK. Для этого нужно найти еще один равный элемент.

Так как ∠ABM = ∠CBK, то ∠ABC - ∠ABM - ∠CBK. Обозначим угол ∠ABC через β, а ∠ABM и ∠CBK через α. Тогда, если из полного угла β вычесть два равных угла α, оставшиеся углы будут равны.

Рассмотрим углы ∠MBA и ∠KBC:

∠MBA = ∠ABC - ∠ABM = β - α

∠KBC = ∠ABC - ∠CBK = β - α

Следовательно, ∠MBA = ∠KBC. Значит, треугольники ABM и CBK равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников ABM и CBK следует, что AM = CK.

Ответ: AM = CK (доказано).