283 На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М, равноудаленная от боковых сторон. Докажите, что СМ - высота треугольника АВС.

Ответ: Доказательство приведено в решении.

• Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
• Точка M лежит на основании AB и равноудалена от боковых сторон AB и AC.
• Опустим перпендикуляры из точки M на боковые стороны AB и AC. Обозначим основания этих перпендикуляров как точки D и E соответственно. Таким образом, MD ⊥ AB и ME ⊥ AC, и MD = ME.
• Рассмотрим треугольники ADM и AEM. Они оба прямоугольные, так как MD ⊥ AB и ME ⊥ AC.
• AM - общая сторона для обоих треугольников.
• Так как MD = ME (по условию), то треугольники ADM и AEM равны по катету и гипотенузе.
• Из равенства треугольников следует, что ∠DAM = ∠EAM. Это означает, что AM является биссектрисой угла A.
• В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине также является высотой и медианой. Следовательно, AM - высота треугольника ABC, опущенная на сторону BC.

Ответ: Доказательство приведено в решении.