4. Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31 см, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

Пусть длина гипотенузы CE равна *a* см, а длина катета CD равна *b* см. Тогда мы имеем систему уравнений: $$a + b = 31$$ $$a - b = 3$$ Решим эту систему уравнений. Сложим два уравнения: $$(a + b) + (a - b) = 31 + 3$$ $$2a = 34$$ $$a = 17$$ Теперь найдем *b*, подставив значение *a* в первое уравнение: $$17 + b = 31$$ $$b = 31 - 17$$ $$b = 14$$ Итак, CE = 17 см, CD = 14 см. Нам нужно найти расстояние от вершины C до прямой DE, то есть длину другого катета DE. По теореме Пифагора: $$DE^2 + CD^2 = CE^2$$ $$DE^2 + 14^2 = 17^2$$ $$DE^2 + 196 = 289$$ $$DE^2 = 289 - 196$$ $$DE^2 = 93$$ $$DE = \sqrt{93}$$ Площадь прямоугольного треугольника CDE можно вычислить двумя способами: $$S = \frac{1}{2} cdot CD cdot DE = \frac{1}{2} cdot 14 cdot \sqrt{93} = 7\sqrt{93}$$ Также площадь можно выразить как половину произведения гипотенузы на высоту, опущенную на гипотенузу (расстояние от C до DE). Пусть это расстояние равно *h*: $$S = \frac{1}{2} cdot CE cdot h = \frac{1}{2} cdot 17 cdot h$$ Приравняем два выражения для площади: $$7\sqrt{93} = \frac{1}{2} cdot 17 cdot h$$ $$h = \frac{14\sqrt{93}}{17}$$ Ответ: $$\frac{14\sqrt{93}}{17}$$ см