16. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 54 и ВС = 36.Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Краткое пояснение:

Пусть окружность с центром A проходит через точку C, значит, радиус окружности AC = 54.

Из точки B проведена касательная к окружности, пусть точка касания будет T. Тогда AT = AC = 54 (радиус), и BT — касательная, которую нужно найти.

Треугольник ATB прямоугольный (касательная перпендикулярна радиусу в точке касания).

Длина AB = AC + CB = 54 + 36 = 90.

По теореме Пифагора:

\[ AT^2 + BT^2 = AB^2 \] \[ 54^2 + BT^2 = 90^2 \] \[ BT^2 = 90^2 - 54^2 \] \[ BT^2 = 8100 - 2916 \] \[ BT^2 = 5184 \] \[ BT = \sqrt{5184} \] \[ BT = 72 \]

Ответ: Длина касательной равна 72.