1.На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 60 и ВС = 27. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Обозначим точку касания окружности и касательной, проведенной из точки B, буквой K. Тогда AK - радиус окружности, проведенный в точку касания, BK - касательная к окружности, AB - отрезок, на котором расположены точки A, C и B. AC = 60, BC = 27.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AKB (угол AKB = 90°, т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AK^2 + BK^2$$

Выразим BK:

$$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2}$$

Т.к. AC = 60, BC = 27, то AB = AC + BC = 60 + 27 = 87.

По условию окружность с центром в точке А проходит через точку C, следовательно, радиус окружности равен AC = 60, т.е. AK = 60.

Тогда BK = $$ \sqrt{87^2 - 60^2} = \sqrt{7569 - 3600} = \sqrt{3969} = 63 $$.

Ответ: 63.