На отрезке АВ выбрана точка С таким образом, что длина СА равна 12, а длина СВ равна 3. Окружность с центром в точке А идет через точку С. Какова длина касательной, проведенной из точки В к этой окружности?

Разбираемся: требуется найти длину касательной, проведенной из точки В к окружности с центром в А.

Пошаговое решение:

1. Пусть К – точка касания касательной, проведенной из точки В к окружности с центром в точке А.
2. Тогда ВК – касательная, а ВС – секущая.
3. По теореме о касательной и секущей: \( BK^2 = BC \cdot BD \), где BD – длина всей секущей, проходящей через центр окружности.
4. Длина АС равна 12 (радиус окружности).
5. Тогда AD = AC = 12.
6. Длина AB = AC + CB = 12 + 3 = 15.
7. Длина BD = AB + AD = 15 + 12 = 27.
8. \( BK^2 = 3 \cdot 27 = 81 \).
9. \( BK = \sqrt{81} = 9 \).

Ответ: 9