4. На рис. 134 AB=BC, ∠DBC=120°. Докажите, что ΔABC – равносторонний.

1. Угол \(DBC\) и угол \(ABC\) - смежные углы, значит, их сумма равна 180 градусам. Найдем угол \(ABC\): \[\angle ABC = 180^\circ - \angle DBC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\] 2. Так как \(AB = BC\), треугольник \(ABC\) - равнобедренный с основанием \(AC\). Следовательно, углы при основании равны, то есть \(\angle BAC = \angle BCA\). 3. Найдем углы \(BAC\) и \(BCA\). Сумма углов треугольника равна 180 градусам: \[\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^\circ\] Так как \(\angle BAC = \angle BCA\), можем записать: \[2 \cdot \angle BAC + 60^\circ = 180^\circ\] \[2 \cdot \angle BAC = 120^\circ\] \[\angle BAC = 60^\circ\] Таким образом, \(\angle BAC = \angle BCA = 60^\circ\). 4. Поскольку все углы треугольника \(ABC\) равны 60 градусам, то треугольник \(ABC\) - равносторонний. Ответ: Все углы треугольника ABC равны 60 градусам, следовательно, треугольник ABC – равносторонний, что и требовалось доказать.