На рис. 150 $$ABCD$$ - трапеция, $$AM = BM = CN = DN$$, $$∠BAC = ∠DAC$$, $$MK = 5$$ см, $$NK = 7$$ см. Найдите $$P_{ABCD}$$.

Рассмотрим рисунок 150.

Так как $$AM = BM$$ и $$CN = DN$$, то $$M$$ и $$N$$ – середины сторон $$AB$$ и $$CD$$ соответственно.

Тогда $$MN$$ – средняя линия трапеции $$ABCD$$.

Тогда $$MN = \frac{BC + AD}{2}$$.

По условию $$MK = 5$$ см, $$NK = 7$$ см. Следовательно, $$MN = MK + KN = 5 + 7 = 12$$ см.

Тогда $$12 = \frac{BC + AD}{2}$$.

$$BC + AD = 24$$ см.

По условию $$∠BAC = ∠DAC$$, следовательно, $$AC$$ – биссектриса угла $$BAD$$.

Так как $$BC \parallel AD$$, то $$∠BCA = ∠DAC$$ как накрест лежащие углы.

Тогда $$∠BAC = ∠BCA$$, следовательно, треугольник $$ABC$$ – равнобедренный, $$AB = BC$$.

Так как $$AM = BM$$, то $$AM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}BC$$.

По условию $$AM = 5$$ см, следовательно, $$BC = 2AM = 2 \cdot 5 = 10$$ см.

Тогда $$AD = 24 - BC = 24 - 10 = 14$$ см.

Так как $$CN = DN$$, то $$DN = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}CD$$.

По условию $$KN = 7$$ см, следовательно, $$CD = 2KN = 2 \cdot 7 = 14$$ см.

Тогда периметр трапеции $$ABCD$$ равен:

$$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 10 + 10 + 14 + 14 = 48$$ см.

Ответ: $$P_{ABCD} = 48$$ см.