На рис. 149 $$AM = MB$$, $$CN = ND$$, $$MK = 2$$ см, $$KN = 9$$ см, $$KE = 5$$ см. Найдите $$S_{ABCD}$$.

Рассмотрим рисунок 149.

Пусть $$AM = MB = x$$, $$CN = ND = y$$.

Проведем высоту $$BF$$ из вершины $$B$$ на основание $$AD$$. Тогда $$BF = KE = 5$$ см.

$$AD = AM + ME + ED = x + ME + y$$

$$BC = BK + KC = 2 + 9 = 11$$ см.

Т.к. $$AM = MB$$ и $$CN = ND$$, то $$MN$$ – средняя линия трапеции $$ABCD$$.

Тогда $$MN = \frac{AD + BC}{2}$$.

$$MK + KN = 2 + 9 = 11$$ см.

Следовательно, $$11 = \frac{AD + 11}{2}$$.

$$22 = AD + 11$$

$$AD = 22 - 11 = 11$$ см.

Площадь трапеции $$ABCD$$ равна:

$$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BF = \frac{11 + 11}{2} \cdot 5 = 11 \cdot 5 = 55$$ см$$^2$$.

Ответ: $$S_{ABCD} = 55$$ см$$^2$$.