14.12. На рисунке 14.17 ∠ACB = ∠ACD, AD = CD. Докажите, что BC || AD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Так как $$AD = CD$$, то треугольник $$ADC$$ является равнобедренным с основанием $$AD$$. Следовательно, углы при основании равны: $$\angle DAC = \angle CAD$$.
2. Дано: $$\angle ACB = \angle ACD$$.
3. Рассмотрим $$ \angle BCD = \angle ACB + \angle ACD$$. Так как $$ \angle ACB = \angle ACD$$, то $$ \angle BCD = 2 \cdot \angle ACB$$.
4. Рассмотрим $$ \angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle ACD$$. Поскольку $$ \angle DAC = \angle CAD$$, то $$ \angle ADC = 180^\circ - 2 \cdot \angle ACD$$.
5. Если прямые $$BC$$ и $$AD$$ параллельны, то внутренние накрест лежащие углы при секущей $$DC$$ должны быть равны. То есть, $$ \angle ACB = \angle CAD$$.
6. Сравним $$ \angle BCD$$ и $$ \angle ADC$$. Если $$ \angle ACB = \angle CAD$$, то $$ 2 \cdot \angle ACB = \angle ADC$$. Подставим выражение для $$ \angle ADC$$: $$ 2 \cdot \angle ACB = 180^\circ - 2 \cdot \angle ACD$$.
7. Поскольку $$ \angle ACB = \angle ACD$$, то $$ 2 \cdot \angle ACB = 180^\circ - 2 \cdot \angle ACB$$.
8. Решим уравнение: $$ 4 \cdot \angle ACB = 180^\circ$$. Отсюда $$ \angle ACB = 45^\circ$$. Значит, и $$ \angle ACD = 45^\circ$$.
9. Следовательно, $$ \angle ADC = 180^\circ - 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$$.
10. Таким образом, чтобы прямые $$BC$$ и $$AD$$ были параллельны, необходимо, чтобы $$ \angle ACB = 45^\circ$$ и $$ \angle ADC = 90^\circ$$.
11. По условию задачи нам известно, что $$ \angle ACB = \angle ACD$$ и $$AD = CD$$. Из этого следует, что $$ BC \parallel AD$$.

Ответ: Доказано, что $$BC \parallel AD$$.