14.13. В треугольнике АВС АВ = ВС, ∠A = 60°, угол BCD смежный с углом АСВ, луч СМ — биссектриса угла BCD. Докажите, что АВ || СМ.

Доказательство:

1. В треугольнике $$ABC$$: $$AB = BC$$, следовательно, треугольник $$ABC$$ - равнобедренный с основанием $$AC$$.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$\angle A = \angle C = 60^\circ$$.
3. Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, следовательно, $$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$$.
4. Так как все углы треугольника $$ABC$$ равны, то треугольник $$ABC$$ - равносторонний.
5. $$\angle BCD$$ - смежный с углом $$\angle ACB$$, следовательно, $$\angle BCD = 180^\circ - \angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$.
6. $$CM$$ - биссектриса угла $$\angle BCD$$, следовательно, $$\angle MCB = \frac{1}{2} \cdot \angle BCD = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$$.
7. Углы $$\ ABC$$ и $$\ MCB$$ - внутренние накрест лежащие при прямых $$AB$$ и $$CM$$ и секущей $$BC$$.
8. Так как $$\ ABC = \ MCB = 60^\circ$$, то прямые $$AB$$ и $$CM$$ параллельны.

Ответ: Прямые $$AB$$ и $$CM$$ параллельны, что и требовалось доказать.