14.14. Отрезки АВ и CD пересекаются в точ- ке О и делятся этой точкой пополам. Докажите, что АС || BD.

Доказательство:

1. Так как отрезки $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся этой точкой пополам, то $$AO = OB$$ и $$CO = OD$$.
2. Рассмотрим треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$. У них $$AO = OB$$, $$CO = OD$$, и углы $$ \angle AOC$$ и $$ \angle BOD$$ равны как вертикальные.
3. Следовательно, треугольники $$AOC$$ и $$BOD$$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть $$ \angle CAO = \angle DBO$$.
5. Углы $$ \angle CAO$$ и $$ \angle DBO$$ являются внутренними накрест лежащими углами при прямых $$AC$$ и $$BD$$ и секущей $$AB$$.
6. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $$AC \parallel BD$$.

Ответ: $$AC \parallel BD$$, что и требовалось доказать.