3. На рисунке 3 ∠ВМК = ∠ВАС. Найдите сумму ∠МКС + ∠АСВ.

Рассмотрим треугольники АВС и МВК. В них:

∠ВМК = ∠ВАС (по условию);

∠В - общий.

Следовательно, треугольники АВС и МВК подобны по двум углам. Значит, ∠МКС = ∠АСВ (как соответственные).

Т.к. МК || АС, то углы МКС и АСВ - соответственные углы при параллельных прямых МК и АС и секущей КС. Соответственные углы равны.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Рассмотрим треугольник МКС:

∠МКС + ∠КСМ + ∠СМК = 180°

Заметим, что ∠КСМ = ∠АСВ. Тогда:

∠МКС + ∠АСВ + ∠СМК = 180°

Но, т.к. ∠ВМК = ∠ВАС, то ∠СМК = ∠ВАС.

Следовательно, ∠МКС + ∠АСВ = 180° - ∠ВАС.

Рассмотрим треугольник АВС:

∠ВАС + ∠АСВ + ∠АВС = 180°

∠АСВ = 180° - ∠ВАС - ∠АВС

Тогда ∠МКС + ∠АСВ = 180° - ∠ВАС - ∠АВС + ∠АСВ

Но ∠ВАС = ∠ВМК, значит, ∠МКС + ∠АСВ = 180°

Ответ: 180°