247 На рисунке 130 AB = AC, AP = AQ. Докажите, что: а) треугольник ВОС - равнобедренный; б) прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

247 На рисунке 130 AB = AC, AP = AQ. Докажите, что:

а) Докажем, что треугольник \(\triangle\[BOC\]\) - равнобедренный.

По условию AB = AC, значит, \(\triangle\[ABC\]\) - равнобедренный, следовательно, углы \(\angle\[ABC\]\) и \(\angle\[ACB\]\) равны. BO и CO - биссектрисы углов, значит, \(\angle\[OBC\]\) = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\[ABC\]\) = \(\frac{1}{2}\) \(\angle\[ACB\]\) = \(\angle\[OCB\]\). В \(\triangle\[BOC\]\) углы при основании BC равны, следовательно, он равнобедренный.

б) Докажем, что прямая ОА проходит через середину основания ВС и перпендикулярна к нему.

Поскольку \(\triangle\[ABC\]\) равнобедренный, то медиана, проведенная из вершины A, является высотой и биссектрисой. Точка O лежит на этой медиане, так как AO - биссектриса угла A. Значит, прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему.

Ответ: Доказано.