1. На рисунке 6 АM=AN, ∠MNC=117°; ∠ABC = 63°. Докажите, что MV || BC.

Для решения этой задачи необходимо доказать, что MN || BC. Для этого воспользуемся признаками параллельности прямых.

1) Рассмотрим треугольник AMN. Так как AM = AN, то треугольник AMN равнобедренный с основанием MN. Следовательно, углы при основании равны: ∠AMN = ∠ANM.

2) Найдем ∠AMN и ∠ANM. Сумма углов треугольника равна 180°. Значит,

$$∠AMN = ∠ANM = \frac{180° - ∠MAN}{2}$$

3) Найдем ∠MAN. ∠MNC является внешним углом треугольника AMN, поэтому ∠MNC = ∠MAN + ∠AMN. Выразим ∠MAN:

$$∠MAN = 180° - ∠MNC = 180° - 117° = 63°$$

4) Теперь найдем ∠AMN:

$$∠AMN = \frac{180° - 63°}{2} = \frac{117°}{2} = 58.5°$$

5) Рассмотрим прямые MN и BC. ∠ABC = 63°, а ∠AMN = 58.5°. Так как ∠AMN + ∠ABC ≠ 180°, то MN не параллельна BC.

6) Однако, если ∠MNC = 117°, то смежный с ним угол ∠ANM = 180° - 117° = 63°. Тогда ∠ANM = ∠ABC = 63°. Эти углы являются соответственными при прямых MN и BC и секущей AB. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, MN || BC.

Ответ: MN || BC доказано.