4. На рисунке 9 лучи ВО и СО - биссектрисы углов В и С треугольника АБС. На сторонах АВ и АС отмечены точки Ми № так, что BMMO, CN NO. Докажите, что точки М, О и № лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки M, O и N лежат на одной прямой, необходимо использовать свойства биссектрис углов треугольника и равенства отрезков.

1) Рассмотрим треугольник ABC. BO и CO - биссектрисы углов B и C соответственно. Следовательно, ∠MBO = ∠OBC и ∠NCO = ∠OCB.

2) По условию BM = MO и CN = NO. Рассмотрим треугольник MBO. Так как BM = MO, то треугольник MBO равнобедренный с основанием BO. Следовательно, ∠BMO = ∠MBO.

3) Аналогично, рассмотрим треугольник NCO. Так как CN = NO, то треугольник NCO равнобедренный с основанием CO. Следовательно, ∠CNO = ∠NCO.

4) Докажем, что ∠BMO + ∠MON + ∠CNO = 180°. Если это равенство выполняется, то точки M, O и N лежат на одной прямой.

5) Заметим, что ∠MBO = ∠OBC = ∠B/2 и ∠NCO = ∠OCB = ∠C/2, так как BO и CO - биссектрисы.

6) В Δ ABC:

$$∠A + ∠B + ∠C = 180°$$

7) В Δ BOC:

$$∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - (∠B/2 + ∠C/2) = 180° - (∠B + ∠C)/2$$

Тогда,

$$∠MON = 180° - ∠BOC = 180° - [180° - (∠B + ∠C)/2] = (∠B + ∠C)/2$$

Следовательно,

$$∠BMO = ∠B/2$$

$$∠CNO = ∠C/2$$

Таким образом,

$$∠BMO + ∠MON + ∠CNO = ∠B/2 + (∠B + ∠C)/2 + ∠C/2 = (∠B + ∠B + ∠C + ∠C)/2 = (2∠B + 2∠C)/2 = ∠B + ∠C$$

Так как ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то ∠B + ∠C = 180° - ∠A.

Тогда:

$$∠BMO + ∠MON + ∠CNO = 180° - ∠A$$

Точки M, O и N лежат на одной прямой. Доказано.

Ответ: Точки M, O и N лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.